BIENVENIDOS

 Bienvenidos a este curso de sólidos y ángulos, el motivo de este blog es presentar un tema tan necesario en geometría analítica y descriptiva de manera sencilla y estructurada para que cualquiera pueda entenderlo sin necesidad de recurrir a otro medio. 
El curso se divide en : 
-tipos de sólidos y denominación 
-volumen de los los sólidos
-nombres de los ángulos
-tipos paralelas cortadas por una secante.

Al finalizar el curso el estudiante dominará los conceptos y operaciones básicas de sólidos y ángulos, no perdamos y mas tiempo y comencemos ! .

EDITORES DEL BLOG

UNIDAD EDUCATIVA SAN LUIS GONZAGA

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN

"ÁNGULOS Y SÓLIDOS"

INTEGRANTES :

• DAVID GALLEGOS
• JONATHAN HERRERA
• KEVIN QUISHPE
• PAÚL VILLAFUERTE

UNIDAD 1 :TIPOS DE SÓLIDOS Y DENOMINACIONES

Clase sólidos geométricos from ronguerra

UNIDAD 2: VOLÚMEN DE SÓLIDOS

Determinar volumenes

Existen objetos que no se pueden ubicar en el plano, como por ejemplo, una caja de cartón, una columna de concreto, un tanque de agua, una bola de baloncesto, etc. Por esta razón es necesario analizar la forma y extensión de los objetos, ubicados en el espacio, lo que se puede hacer representándolos mediante figuras geométricas y es conocida como "geometría del espacio."
Sólidos Son objetos tridimensionales y se ubican en el espacio.
Volumen Es la capacidad que ocupa un sólido en el espacio tridimensional . Volumen es el número de unidades cúbicas que contiene.
Area de superficie Es la suma de las áreas de superficie de un sólido.

  Volumen de sólidos rectangulares

Sólidos rectangulares tienen seis superficies rectangulares con tres pares de superficies paralelas que tienen las mismas medidas.

El volumen es igual al producto de largo por ancho por altura, es decir:

$V$ = l × a × h

El área de la superficie de un sólido rectangular es igual a la suma del al área de los seis rectángulos que cubren al sólido, y que son iguales dos a dos (los que se oponen) y es dada por:

$A$ S = 2 ( a × l + l × h + a × h )

El cubo es un caso especial de los sólidos rectangulares, en el cual el largo, ancho y altura tienen la misma dimensión.

$V$ o l u m e n = V = l 3 
$A$ S = 6 l 3

Ejemplos

1. Encuentre el volumen y el área de la superficie de un sólido rectangular cuyas dimensiones son: largo 6, ancho 4, y altura 5.

$V$ = l × a × h = 6 × 4 × 5 = 120 $A$ S = 2 ( 4 × 6 + 6 × 5 + 4 × 5 ) = 148

2. Si el área de la superficie de un cubo es 150 pulgadas cuadradas, determine el lado del cubo y su volumen.

$A$ S = 6 l 2 = 150 ⇒ l 2 = 25 ⇒ l = ± 25 = ± 5 Como la longitud es positiva se tiene que el lado del cubo mide 5 pulgadas. $V$ = l 3 = 5 3 = 125

Volumen del cilindro

Cilindros o sólidos circulares son objetos tridimensionales que tienen dos círculos idénticos en planos paralelos conectados por el conjunto de todos los segmentos de rectas entre los dos círculos. Si los segmentos que unen los centros de los círculos son perpendiculares a los planos de los círculos, el cilindro se llama cilindro circular recto.

Cilindro circular recto	Corte vertical de un cilindro circular recto

El volumen de un cilindro que tiene dos bases circulares congruentes con área $\pi$ r 2 y altura $h,$ es:

$V$ = π r 2 h

El área total de superficie de un cilindro circular recto es igual a la suma de área del rectángulo que se obtiene al realizar un corte vertical más las dos áreas de las bases circulares, y es dada por:

$A$ S = 2 π r 2 + 2 π r h

Ejemplos

1. Determine el volumen y el área total de superficie de un cilindro circular recto cuya altura es de 12 pies y el radio de la base es de 2 pies.

$V$ = π r 2 h = π ( 2 ) 2 × 12 = 48 π ≈ 150.79 pies cúbicos. $A$ S = 2 π r 2 + 2 π r h = 2 π r ( r + h ) = 2 π × 2 ( 2 + 12 ) = 96 π ≈ 301.59 pies cuadrados.

2. Determine el volumen de un cilindro circular recto cuya altura es de 4 pies si su área total de superficie es de 24 π pies cuadrados.

Sustituyendo el valor de h en el área de la superficie se tiene: $A$ S = 2 π r 2 + 2 π r h = 2 π r 2 + 8 π r = 24 π , dividiendo por $2$ π se obtiene: $r$ 2 + 4 r = 12 ⇒ r 2 + 4 r - 12 = 0 cuya solución es: $r$ = - 6 y $r$ = 2 , de donde: $r$ = 2 pies y su volumen es dado por: $V$ = π r 2 h = π ( 2 ) 2 × 4 = 16 π ≈ 50.26 pies cúbicos.

  Volumen de la esfera

Una esfera es el conjunto de todos los puntos en el espacio que son equidistantes de un punto fijo llamado centro. La distancia es el radio de la esfera. Como una esfera no tiene bases, su área es llamada su área de superficie.

Esfera de radio r

El volumen de la esfera de radio r, es dado por:

$V$ = 4 3 π r 3

El área de superficie de la esfera de radio r, es dada por:

$A$ S = 4 π r 2

Ejemplos

1. Si el radio de una esfera es de 3 pies, determine su volumen y área de superficie.

$V$ = 4 3 π r 3 = 4 3 π ( 3 ) 3 = 36 π ≈ 113.09 pies cúbicos $A$ S = 4 π r 2 = 4 π ( 3 ) 2 = 36 π ≈ 113.09 pies cuadrados.

2. La circunferencia promedio de la tierra es aproximadamente 24,900 millas. ¿Cuáles son los valores aproximados de su superficie y volumen?

La tierra se puede aproximar como una esfera y se determina su radio usando la fórmula: $C$ = 2 π r = 24900 ⇒ r = 24900 2 π ≈ 3962.96 y podemos considerar su radio como 3,963 millas. $V$ = 4 3 π r 3 = 4 3 π ( 3963 ) 3 = 8.298716 98 × 1 0 10 π ≈ 2.607118830 × 1 0 11 millas cúbicas. $A$ S = 4 π r 2 = 4 π ( 3963 ) 2 = 6.282 1476 × 1 0 7 π ≈ 1.973594875 × 1 0 8 millas cuadradas.

Áreas y volúmenes de sólidos regulares - video de ayuda

UNIDAD 3: NOMBRE DE ÁNGULOS

Clasificación de ángulos

1 Clasificación de ángulos según su medida

Agudo < 90°

Recto = 90°

Obtuso > 90°

Convexo < 180°

Llano = 180°

Cóncavo > 180°

Nulo = 0º

Completo = 360°

Negativo < 0º

Mayor de 360°

2 Tipos de ángulos según su posición

2.1.Ángulos consecutivos:

Ángulos consecutivos son aquellos que tienen el vértice y un lado común.

2.2.Ángulos adyacentes:

Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en polongación del otro. Forman un ángulo llano.

2.3. Ángulos opuestos por el vértice:

Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro.

Los ángulos 1 y 3 son iguales.

Los ángulos 2 y 4 son iguales.

3 Clases de ángulos según su suma

3.1.Ángulos complementarios:

Dos ángulos son complementarios si suman 90°.

3.2. Ángulos suplementarios

Dos ángulos son suplementarios si suman 180°.

4 Ángulos entre paralelas y una recta transversal

4.1. Ángulos correspondientes

Los ángulos 1 y 2 son iguales.

4.2. Ángulos alternos internos

Los ángulos 2 y 3 son iguales.

4.3. Ángulos alternos externos

Los ángulos 1 y 4 son iguales.

5 Ángulos en la circunferencia

5.1. Ángulo central

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.
La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.>

5.2. Ángulo inscrito

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.

5.3. Ángulo semiinscrito

El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.

5.4. Ángulo interior

Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

5.5. Ángulo exterior

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella.

 

Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.

6 Ángulos de un polígono regular

6.1. Ángulo central de un polígono regular

Es el formado por dos radios consecutivos.

Ejemplo:

Si n es el número de lados de un polígono:

Ángulo central = 360° : n

Ángulo central del pentágono regular= 360° : 5 = 72º

6.2. Ángulo interior de un polígono regular

Es el formado por dos lados consecutivos.

Ángulo interior = 180° − Ángulo central

Ángulo interior del pentágono regular = 180° − 72º = 108º

6.3. Ángulo exterior de un polígono regular

Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.

Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º.

Ángulo exterior = Ángulo central

Ángulo exterior del pentágono regular = 72º

VIDEO DE AYUDA PARA ÁNGULOS

UNIDAD 4: PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE

ÁNGULOS DETERMINADOS POR RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE

Observa en el dibujo que dos rectas paralelas cortadas una recta transversal crea 8 ángulos que reciben distintos nombres según la posición que ocupan:

Las recta r corta a las rectas paralelas m y n:

Los nombres de los ángulos según el lugar que ocupan reciben los nombres:

Interiores o internos:

En azul, son los que se encuentran entre las rectas paralelas.

Ángulos exteriores o externos:

Los ángulos exteriores o externos en color violeta, son los que hallan en la zona exterior de las paralelas.

Ángulos correspondientes:
Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante, un ángulo en la parte interior y otro en el exterior de las paralelas.

Los ángulos del mismo color son correspondientes:
El ángulo a se corresponde con el ángulo a’
El ángulo b se corresponde con el ángulo b’
El ángulo c se corresponde con el ángulo c’
El ángulo d se corresponde con el ángulo d’

Teniendo en cuenta lo dicho hasta aquí y fijándonos en la figura podemos afirmar que los ángulos correspondientes son iguales entre sí.

Ángulos alternos internos

Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de las rectas paralelas:

Los ángulos internos son d’, c, b y a’. Si los tomamos alternadamente, tendríamos, por un lado, los ángulos d’ y b, y por otro, c y a’ y comprobarás que los alternos internos son iguales entre sí.

 Ángulos alternos externos:

Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las rectas paralelas:

Los ángulos externos son: a, b’, c’ y d que tomándolos alternadamente tendremos, por un lado los ángulos a y c’, y por otro, los ángulos b’ y d. Comprobarás que los ángulos alternos externos son iguales entre sí.

15.55   Observa la figura siguiente y después, contesta a las preguntas siguientes:

BIBLIOGRAFÍA

• Lewis P, 2012. Geometría del espacio. Recuperado el 20 de Marzo del 2014, de

http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/geometria_part6/geometria_part6_right.xhtml

• Fernández, 2011.Volumen de un solido. Recuperado el 20 de Marzo del 2014, de

http://www.tareasya.com.mx/index.php/tareas-ya/secundaria/matematicas/geometria/2165-Volumen-de-un-s%C3%B3lido.html

• Tareasplus (usuario),2013. Áreas y volúmenes de sólidos regulares. Recuperado el 20 de Marzo del 2014, de

https://www.youtube.com/watch?v=cZigcGhRfFg

• Sin especificar. Área y volumen de un sólido 9. Pags 2-10. Recuperado el 21 de Marzo del 2014, de    

http://www.orientacionandujar.es/wp-content/uploads/2012/02/Matematica_6to_-_Unidad_9_-_Area_y_volumen_de_solidos.pdf

• Redóndo F, 2009. Ángulo plano y ángulo sólido . Recuperado el 21 de Marzo del 2014, de

http://electricidad.usal.es/Principal/Circuitos/Comentarios/Temas/AnguloSolido.php

• Davidgallegos03 (usuario), 2014. Ángulos y sólidos. Recuperado el 22 de Marzo del 2014, de

http://www.memorizar.com/tarjetas/angulos-y-solidos-4664886

• Vitutor (Usuario), 2012. Clasificación de ángulos. Recuperado el 23 de Marzo del 2014, de

http://www.vitutor.com/geo/eso/el_6.html

ELEMENTOS DIDÁCTICOS DE AYUDA

Ángulos y Sólidos

TARJETAS DE AYUDA

http://www.memorizar.com/tarjetas/angulos-y-solidos-4664886